Présentation de la société : CNRS

Le Centre national de la recherche scientifique est un organisme public de recherche pluridisciplinaire placé sous la tutelle du ministère de l’Enseignement supérieure et de la Recherche. Créé en 1939 et dirigé par des scientifiques, il a pour mission de faire progresser la connaissance et être utile à la société dans le respect des règles d’éthique, de déontologie et d’intégrité scientifique.

Missions

Sujet de thèse :
Le but est d'étudier l'utilisation des structures de Garside pour prouver la fidélité des représentations de Khovanov-Seidel des groupes d'Artin-Tits.

Les groupes d'Artin-Tits sont des groupes de symétries associés aux groupes quantiques, qui généralisent les groupes de tresses. Leur étude algébrique et géométrique est particulièrement riche, et difficile en toute généralité. L'utilisation d'une structure dite "de Garside", qui permet une écriture privilégiée des éléments et des propriétés algorithmiques fortes, est particulièrement utile, mais on ne connaît que très peu d'exemples de telles structures.
Thomas Haettel (avec Jingyin Huang, Duke Math. Journal, 2024) a récemment découvert de nouvelles structures de Garside. L'étudiante ou l'étudiant cherchera à utiliser ces structures pour (re) prouver la fidélité de la représentation de Khovanov-Seidel, en suivant une stratégie de preuve mise en place en type sphérique par Anthony Licata et Hoel Queffelec (Annales Scientifiques de l'ENS, 2021) . Cette fidélité implique notamment celle de la représentation par bimodules de Soergel, qui est conjecturée et est l'objet d'études soutenues depuis une vingtaine d'années.
Dans un second temps, nous chercherons également à relâcher la condition de finitude des atomes pour étendre la classe des groupes d'Artin-Tits sur lesquels appliquer la même stratégie de preuve. L'une des stratégies est notamment d'étendre le groupe d'Artin-Tits pour qu'il contienne un nouvel élément faisant office d'élément de Garside, et qui correspond au décalage triangulé de la catégorie sur laquelle le groupe agit.
Contexte :
L'objectif principal est de prouver la fidélité de la représentation de Khovanov-Seidel dans de nouveaux cas, à l'aide d'approche de type Garside. Le développement d'extensions de la théorie de Garside au cas d'un nombre infini d'atomes pourra être également intéressant, et s'appuira sur l'étude des groupes d'automorphismes de certaines catégories triangulées.
Les groupes d'Artin-Tits sont des objets d'étude classiques en théorie des groupes, et sont encore très mal compris. Les approches catégoriques que nous utiliserons ont été introduites par Khovanov et Seidel avec une inspiration symplectique au début des années 2000. Le thème de cette thèse s'inscrit dans un programme de recherche qui vise à utiliser des outils catégoriques pour déduire des résultats géométriques sur les groupes d'autoéquivalences de la catégorie.

Conditions particulières d'exercice

Le Centre national de la recherche scientifique est l’une des plus importantes institutions publiques au monde : 34 000 femmes et hommes (plus de 1 000 laboratoires et 200 métiers) , en partenariat avec les universités et les grandes écoles, y font progresser les connaissances en explorant le vivant, la matière, l’Univers et le fonctionnement des sociétés humaines. Depuis plus de 80 ans, y sont développées des recherches pluri et interdisciplinaires sur tout le territoire national, en Europe et à l’international. Le lien étroit que le CNRS tisse entre ses missions de recherche et le transfert vers la société fait de lui un acteur clé de l’innovation en France et dans le monde. Le partenariat qui le lie avec les entreprises est le socle de sa politique de valorisation et les start-ups issues de ses laboratoires (près de 100 chaque année) témoignent du potentiel économique de ses travaux de recherche.

Profil recherché

Contraintes et risques :
Rien à signaler